命題１５
単位が任意の数を割り切り、他の数が任意の他の数を同じ回数で割り切るならば、入れ替えて、第2の数が第4の数を割り切るように単位は第3の数を同じ回数で割り切る。
単位Aは任意の数BCを割り切るとし、そして他の数Dは任意の他の数EFを同じ回数で割り切るとする。
入れ替えてもまた、BCがEFを割り切るように単位が数Dを同じ回数で割り切ることをいう。
DがEFを割り切るように単位Aは数BCを同じ回数で割り切るから、それゆえにBCのなかに単位があると同じようにEFのなかにDと等しい数がある。
BCを単位、BG､GH､HCに分け、そしてEFをDと等しい数EK､KL､LFに分ける。それからBG､GH､HCの量はEK､KL､LFの量と等しい。
そして、単位BG､GH､HCは互いと等しく、そして数EK､KL､LFもまた互いと等しいから、単位BG､GH､HCの量が数EK､KL､LFの量と等しいとき、それゆえに単位BGは数EKに対し同じように単位GHは数KLに対し、そして同じように単位HCは数LFに対する。
前項の２つは後項の２つに対し同じように前項の和は後項の和に対するから、それゆえに単位BGは数EKに対し同じようにBCはEFに対する。propositionⅦ．１２
しかし単位BGは単位Aと等しく、そして数EKは数Dと等しい。それゆえに単位Aは数Dに対し同じようにBCはEFに対する。それゆえにBCがEFを割り切るように単位Aは数Dを同じ回数で割り切る。
それゆえに、単位が任意の数を割り切り、他の数が任意の他の数を同じ回数で割り切るならば、入れ替えて、第2の数が第4の数を割り切るように単位は第3の数を同じ回数で割り切る。
証明終了